Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，-1），则点N的坐标是________．

Answer 1

（2，-4）
分析：首先过点P作PA⊥MN于点A，由垂径定理即可求得AM=MN，易证得四边形ABOP是矩形，即可得AB=OP，PA=OB=2，设OP=a，在Rt△PAM中，由PM²=AM²+PA²，可得方程a²=（a-1）²+4，继而可求得答案．
解答：解：过点P作PA⊥MN于点A，
∴AM=MN，
∵在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．
∴∠POB=∠PAB=∠ABO=90°，
∴四边形ABOP是矩形，
∴AB=OP，PA=OB=2，
设OP=a，
则PM=OP=a，
∵点M的坐标是（2，-1），
∴BM=1，
∴AM=a-1，
在Rt△PAM中，PM²=AM²+PA²，
即a²=（a-1）²+4，
解得：a=2.5，
∴AM=1.5，
∴MN=3，
∴BN=1+3=4，
∴点N的坐标为：（2，-4）．
故答案为：（2，-4）．
点评：此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．