Question

15．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC=DE，求证：AC=AE．

Answer 1

分析 作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，根据垂径定理得出PB=DQ，PC=QE，根据HL证得RT△OPB≌RT△OQD，RT△OPA≌RT△OQA，得出AP=AQ，进而即可证得结论．

解答 证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB=$\frac{1}{2}$BC，DQ=$\frac{1}{2}$DE，
∵BC=DE，
∴PB=DQ，PC=QE，
在RT△OPB和RT△OQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{PB=QD}\end{array}\right.$，
∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），
∴OP=OQ，
在RT△OPA和RT△OQA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OQ}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴RT△OPA≌RT△OQA（HL），
∴AP=AQ，
∴AP+PC=AQ+QE，
即AC=AE．

点评 本题考查了垂径定理和三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．