Question

2．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知：AD=4，AE=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）根据三角函数的性质，求得cos∠B=cos∠A=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，继而求得答案．

解答 （1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵DE⊥AC，AD=4，AE=3，
∴cos∠A=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
由（1）可知∠BDC=90°，BD=AD=4，∠A=∠B，
∴cos∠B=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{4}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=$\frac{16}{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{8}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．