Question

12．Rt△ABC中，A∠BAC=90°，边BC所在直线下方有一点D，连接BD，AD，CD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，若AD²=2AB×DM．

（1）求证：AB=BD；
（2）过点A作BC的垂线交BC于E，交射线BD于G，沿BC折叠∠BCD得到∠BCF，射线CF交射线DE于点F，连接BF，判断线段BF，BG，DG的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长AB到K，使AB=BK，连接DK，则有AK=2AB，由已知等式，将2AB代换为AK，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ADK与三角形DMA相似，利用相似三角形对应角相等得到∠ADK为直角，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；
（2）BF=BG+DG或BF=BG-DG，理由为：利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABE与三角形CBA相似，由相似得比例，等量代换后利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BDE与三角形BCD相似，利用相似三角形对应角相等，得到四边形FBDC对角互补，即F，B，D，C四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换后，利用等角对等边得到BF=BD，分两种情况考虑：当G在BD上与G在BD的延长线上，即可得证．

解答 （1）证明：如图1，延长AB到K，使AB=BK，连接DK，则有AK=2AB，

∵AD²=2AB×DM，
∴AD²=AK×DM，即$\frac{AD}{AK}$=$\frac{DM}{AD}$，
∵DM⊥AC，
∴∠DMC=∠BAC=90°，
∴AB∥DM，
∴∠KAD=∠ADM，
∴△ADK∽△DMA，
∴∠ADK=∠AMD=90°，
∴BD为斜边AB上的中线，
∴BD=BA；
（2）解：BF=BG+DG或BF=BG-DG，理由为：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠ABE=∠CBA，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
∵AB=BD，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵∠EBD=∠DBC，
∴△BDE∽△BCD，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠BCD=∠BCF，
∴∠BDE=∠BCF，
∴四边形FBDC对角互补，即F，B，D，C四点共圆，
∴∠BFD=∠BCD，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD，
分两种情况考虑：
①如图2（1），当G在BD上时，BF=BG+DG；

②如图2（2），当G在BD延长线上时，BF=BG-DG．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，四点共圆的条件，圆周角定理，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．