Question

19．已知x₁，x₂是方程2x²-x-7=0的两根．
求（1）x₁²+x₂²             
（2）2x₁²+x₂-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后把前面的值代入即可求出其值；
（2）根据方程解的定义得到2x₁²-x₁-7=0，求得2x₁²-x₁=7，然后整体代入计算即可．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是方程2x²-x-7=0的两根，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{1}{2}$）²-2×（-$\frac{7}{2}$）=$\frac{1}{4}$+7=$\frac{29}{4}$．即x₁²+x₂² 的值是$\frac{29}{4}$；
（2）∵x₁是方程2x²-x-7=0的实数根，
∴2x₁²-x₁-7=0，
∴2x₁²-x₁=7，
∴2x₁²+x₂-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{2}$．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．