Question

如图，点P、M、N分别在正△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC．求证：
（1）△PMN是等边三角形；
（2）若AB=9cm，求MC．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=9cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．

解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴MC=3cm．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键．