Question

2．如图，△ABC绕点O逆时针旋转45°得△CDE，A旋转到点C，点C旋转到点E，点B旋转到点D，其中A、C、D三点共线，B、C、E三点共线．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得∠BAC=∠DCE，加上∠DCE=∠ACB，所以∠BAC=∠ACB，于是根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连结OA、OC、OE，如图，根据旋转的性质得OA=OC，OC=OE，∠AOC=∠COE=45°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠OCA=67.5°，∠OCE=67.5°，则∠ACE=135°，利用邻补角得到∠BCA=45°，则可判断△ABC为等腰直角三角形，所以∠B=90°．

解答 （1）证明：∵△ABC绕点O逆时针旋转45°得△CDE，A旋转到点C，点C旋转到点E，点B旋转到点D，
∴∠BAC=∠DCE，
∵A、C、D三点共线，B、C、E三点共线，
∴∠DCE=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：连结OA、OC、OE，如图，
∵△ABC绕点O逆时针旋转45°得△CDE，
∴OA=OC，OC=OE，∠AOC=∠COE=45°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
同理可得∠OCE=67.5°，
∴∠ACE=2×67.5°=135°，
∴∠BCA=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=90°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的判定．