Question

14．求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．

Answer 1

分析 首先根据已知条件证明四边形EMFN是矩形，再根据正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形即证明FM=EM即可．

解答 如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，
求证：四边形EMFN是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴四个内角均为90°，
∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴∠E=90°，
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，
∴四边形MFNE为矩形，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠E}\\{∠1=∠4}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△CBE（AAS）
∴AF=BE，
∵AM=BM，
∴AF-AM=BE-BM，即FM=EM，
∴四边形MFNE是正方形．

点评 本题考查了矩形的性质和判定、角平分线的性质等腰直角三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是对特殊的几何图形的判定和性质要熟练掌握．