Question

9．已知x₁、x₂是方程4ax²-4ax+a+4=0的两个实根
（1）是否能适当选取a的值，使得（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的值等于$\frac{5}{4}$？
（2）求使$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$的值为整数的a的值（a为整数）

Answer 1

分析 （1）先根据根的判别式得到解得a＜0，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{a+4}{4a}$，接着利用（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）=$\frac{5}{4}$变形得到9x₁x₂-2（x₁+x₂）²=$\frac{5}{4}$，所以9•$\frac{a+4}{4a}$-2×1=$\frac{5}{4}$，解得a=9，于是可判断没有能适当选取a的值，使得（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的值等于$\frac{5}{4}$；
（2）先变形$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$得到$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]}{{x}_{1}{x}_{2}}$，则原式=$\frac{1•（1-3•\frac{a+4}{4a}）}{\frac{a+4}{4a}}$=$\frac{a-12}{a+4}$=1-$\frac{16}{a+4}$，再利用整数的整除性得a+4=±1，±2，±4，±8，±16，然后分别求出满足条件的a的值．

解答 解：（1）根据题意得a≠0且△=16a²-4•4a（a+4）≥0，解得a＜0，
x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{a+4}{4a}$，
∵（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）=$\frac{5}{4}$，
∴9x₁x₂-2（x₁+x₂）²=$\frac{5}{4}$，
∴9•$\frac{a+4}{4a}$-2×1=$\frac{5}{4}$，解得a=9，
而a＜0，
∴没有能适当选取a的值，使得（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的值等于$\frac{5}{4}$；
（2）$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1•（1-3•\frac{a+4}{4a}）}{\frac{a+4}{4a}}$=$\frac{a-12}{a+4}$=1-$\frac{16}{a+4}$，
∵a为整数，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}}$的值为整数，
∴a+4=±1，±2，±4，±8，±16，
而a＜0，
∴a的值为-3，-5，-8，-12，-20．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．