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【题目】(10分)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,AB=8.

(1)利用尺规,作CAB的平分线,交O于点D;(保留作图痕迹,不写作法)

(2)在(1)的条件下,连接CD,OD,若AC=CD,求B的度数;

(3)在(2)的条件下,OD交BC于点E.求出由线段ED,BE,所围成区域的面积.(其中表示劣弧,结果保留π和根号)

【答案】(1)作图见解析;(2)30°;(3)

【解析】

试题分析:(1)作AP平分CAB交O于D;

(2)由等腰三角形性质得到CAD=ADC.又由ADC=B,得到CAD=B.

再根据角平分线定义得到CAD=DAB=B.由于直径所对圆周角为90°,得到ACB=90°,从而得到B的度数

(3)先得到OEB是30°角的直角三角形,从而得出OE,EB的长,然后把不规则图形面积转化为扇形BOD的面积减去RtOEB的面积求解.

试题解析:(1)如图,AP即为所求的CAB的平分线

(2)AC=CD,∴∠CAD=ADC.又∵∠ADC=B,∴∠CAD=B.

AD平分CAB,∴∠CAD=DAB=B.

AB是O的直径,∴∠ACB=90°∴∠CAB+B=90°3B=90° ∴∠B=30°

(3)由(2)知,DAB=30°.又∵∠DOB=2DAB,∴∠EOB=60°∴∠OEB=90°

在RtOEB中,OB=4,OBE=30°OE=2,BE=S===

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