Question

2．如图，点A是反比例函数y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上一点，点C是x正半轴上一点，点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$），当△ABC是等边三角形时，点A的坐标为（　　）

• A． （3$\sqrt{3}$，4）
• B． （4，3$\sqrt{3}$）
• C． （4$\sqrt{3}$，3）
• D． （3，4$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，AG⊥OC于G，过D点作EF∥OC，交y轴于E，交AG于F，由等边三角形的性质得出D为BC的中点，根据点A是反比例函数y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上一点，设点A的坐标为（x，$\frac{12\sqrt{3}}{x}$），点C的坐标为（a，0），D的坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；然后根据△BED∽△DFA的性质，得出出a、x的两个关系式，解关系式求得x的值，即可求得点A的坐标．

解答 解：如图，作AD⊥BC于D，AG⊥OC于G，过D点作EF∥OC，交y轴于E，交AG于F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD，
设点A的坐标为（x，$\frac{12\sqrt{3}}{x}$），点C的坐标为（a，0），
则BC的中点D的坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
∵AD⊥BC，
∴∠BDE+∠ADF=90°，
∵∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，
∴△BED∽△DFA，
∴$\frac{BE}{DF}$=$\frac{ED}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{x-\frac{a}{2}}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{12\sqrt{3}}{x}-\frac{\sqrt{3}}{2}}$=cot60°，
整理，可得
$\frac{1}{2}$a=$\frac{12}{x}$-$\frac{1}{2}$①，x-$\frac{a}{2}$=$\frac{3}{2}$②
由①②，解得x₁=4，x₂=-3（舍去），
∴A（4，3$\sqrt{3}$）
所以当△ABC是等边三角形时，点A的坐标为：（4，3$\sqrt{3}$）．
故选B．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及等边三角形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形边上的高是这个边的中线．