Question

【题目】某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。已知B村在A村的北偏东60°方向，距离A村2.4km，C村在A村的正东方向，距离A村1.8km,要使此工程费用最省，管道PA+PB+PC之和需最短，则最短长度为______________km.

Answer 1

【答案】3

【解析】

先证明△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．然后根据这个原理找到点P，把△APC绕点A逆时针旋转60°得△ADE，证得△ABE是直角三角形，用勾股定理求出BE，即可得出PA+PB+PC之和的最短值。

解：先证明结论：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

如图1， P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，

证明：如图2，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，

∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE，
∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°，
∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．

∴PA+PB+PC的值最小．

解决问题：

如图3，将三个村连接为△ABC，由上可知，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，AP+BP+PC的值最小.

把△APC绕点A逆时针旋转60°得△ADE，

∴∠PAD=60°，AE=AC=2.4 km
由上可知B、P、D、E共线，且AP+BP+PC=BE，∠PAB=∠DAE，

∵B村在A村的北偏东60°方向， C村在A村的正东方向，

∴∠BAC=30°，
∴∠PAB+∠PAC=∠DAE+∠PAB=30°，
∴∠BAE=∠DAE+∠PAB+∠PAD=90°，

在Rt△ABE中，

∴PA+PB+PC=3km

故答案为：3