Question

如图，在平面直角坐标系中，△OBC的外接圆交y轴于点A（0，2），∠OCB=60°，∠COB=45°．求点C的坐标．

Answer 1

考点：圆周角定理,坐标与图形性质,解直角三角形

专题：计算题

分析：作CH⊥OB，连结AB，如图，易得△OCH为等腰直角三角形，则OH=CH，再根据圆周角定理，由∠AOB=90°得AB为△OBC的外接圆⊙D的直径，连结CD，得到∠OAB=∠OCB=60°，
所以∠ABO=30°，可计算出AB=2OA=4，OB=

3

OA=2

3

，接着判断△CBD为等腰直角三角形，得到BC=

2

BD=2

2

，设OH=x，则CH=x，BH=2

3

-x，然后在Rt△BCH中，根据勾股定理得到（2

3

-x）²+x²=（2

2

）²，再解方程求出x即可得到C点坐标．

解答：解：作CH⊥OB，连结AB，如图，
∵∠COB=45°，
∴△OCH为等腰直角三角形，
∴OH=CH，
∵∠AOB=90°，
∴AB为△OBC的外接圆⊙D的直径，
连结CD，
∵∠OAB=∠OCB=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
OB=

3

OA=2

3

，
∵∠CDB=2∠COB=90°，
∴△CBD为等腰直角三角形，
∴BC=

2

BD=2

2

，
设OH=x，则CH=x，BH=2

3

-x，
在Rt△BCH中，
∵BH²+CH²=BC²，
∴（2

3

-x）²+x²=（2

2

）²，解得x₁=

3

+1，x₂=

3

-1（舍去），
∴C点坐标为（

3

+1，

3

+1）．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．