Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；

（2）连接CB，点K是线段CB的中点，点M是y轴上的一点，点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE，当△PCE的面积最大时，求KM+PM的最小值；

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣2x﹣3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F，在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线AE的解析式为y=x+1；（2）当△PCE的面积最大时，KM+PM的最小值为；（3）点Q的坐标为（3，-4-）或（3，-4+）或（3，6）或（3，）．

【解析】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、E的坐标，根据点A、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线AE的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点C、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线CE的解析式，过点P作PP′∥y轴，交直线CE于点P′，作点K关于y轴对称点K′，连接PK′交y轴于点M，此时PM+KM取最小值PK′，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点P′的坐标为（x，2x﹣3），PP′=﹣x2+4x，根据三角形面积公式可得出S△PCE=﹣2x2+8x，配方后可得出：当x=2时，△PCE的面积取最大值，此时点P的坐标为（2，﹣3），由点B、C的坐标可得出点K、K′的坐标，再利用两点间的距离公式可求出当△PCE的面积最大时KM+PM的最小值；

（3）根据平移的性质结合平移后的抛物线过点D可求出平移后抛物线的解析式，进而可求出其顶点F的坐标，由点C、E的坐标可求出点G的坐标，设点Q的坐标为（3，a），则GF==，FQ=|a+4|，GQ==，根据等腰三角形的性质分GF=FQ、GF=GQ、FQ=GQ三种情况求出a的值，此题得解．

（1）当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．

当x=4时，y=x2﹣2x﹣3=5，∴E（4，5）．

设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（﹣1，0）、E（4，5）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+1．

（2）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴C（0，﹣3），设直线CE的解析式为y=mx﹣3（m≠0），将点E（4，5）代入y=mx﹣3中，得：

4m﹣3=5，解得：m=2，∴直线CE的解析式为y=2x﹣3．

在图2中，过点P作PP′∥y轴，交直线CE于点P′，作点K关于y轴对称点K′，连接PK′交y轴于点M，此时PM+KM取最小值PK′．

设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点P′的坐标为（x，2x﹣3），PP′=﹣x2+4x，∴S△PCE=PP′（xE﹣xC）=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴当x=2时，△PCE的面积取最大值，此时点P的坐标为（2，﹣3）．

∵B（3，0），C（0，﹣3），K是线段CB的中点，∴K（，﹣），K′（﹣，﹣），∴PK′==，∴当△PCE的面积最大时，KM+PM的最小值为．

（3）设平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣t）2﹣2（x﹣t）﹣3（t＞0）．

∵平移后的抛物线过点D（1，0），∴（1﹣t）2﹣2（1﹣t）﹣3=0，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去），∴平移后抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴F（3，﹣4）．

∵C（0，﹣3），E（4，5），点G是线段CE的中点，∴G（2，1）．

设点Q的坐标为（3，a），则GF==，FQ=|a+4|，GQ==．

∵△FGQ为等腰三角形，∴分三种情况．

①当GF=FQ时，有=|a+4|，解得：a1=﹣4，a2=﹣﹣4，∴点Q（3，﹣4）或（3，﹣﹣4）；

②当GF=GQ时，有=，解得：a3=6，a4=﹣4（舍去），∴点Q（3，6）；

③当FQ=GQ时，有|a+4|=，解得：a=﹣，∴点Q（3，﹣）．

综上所述：在新抛物线y′的对称轴上，存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形，点Q的坐标为（3，）或（3，）或（3，6）或（3，）．