Question

【题目】如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．

（1）若点D是BC的中点，

①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值

②证明：；

（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．

Answer 1

【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；

②延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；

（2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．

（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，

∵PM∥AC，∴DE∥AC，

.

∵点D为BC中点，

∴点E是AB中点，且，

∴；

②延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，

∵DQ=AD，BD=DC，

四边形ABQC是平行四边形．

∴PM∥BQ，PN∥CQ，

∴，，

∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）

（3）过点D作DE∥PM交AB于E，

∴，

又∵PM∥AC，∴DE∥AC，

∴，

∴，

同理可得：，

∴．