Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x₁²-x₂²=0时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x₁²-x₂²=0得x₁+x₂=0或x₁-x₂=0；当x₁+x₂=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．

解答：解：（1）由题意有△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得m≤

1

4

，
∴实数m的取值范围是m≤

1

4

；

（2）由两根关系，得根x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，
由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
若x₁+x₂=0，即-（2m-1）=0，解得m=

1

2

，
∵

1

2

＞

1

4

，
∴m=

1

2

不合题意，舍去，
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂
∴△=0，由（1）知m=

1

4

，
故当x₁²-x₂²=0时，m=

1

4

．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．