Question

【题目】如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形EFGH的长为8，宽为4．

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质可得出OA=OC，OD=OB，再由中点的性质可得出OF=OH，结合对顶角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOF≌△COH，从而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依据平行四边形的判定定理即可证出结论；

（2）设矩形EFGH的长为a、宽为b．根据勾股定理及边之间的关系可找出AC=，BD=，利用菱形的性质、矩形的性质可得出∠AOB=∠AGH=90°，从而可证出△BAO∽△CAG，根据相似三角形的性质可得出，套入数据即可得出a=2b①，再根据菱形的面积公式得出②，联立①②解方程组即可得出结论．

试题解析：（1）证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，∴OA=OC，OD=OB，∵点O是线段FH的中点，∴OF=OH．在△AOF和△COH中，∵OA=OC，∠AOF=∠COH，OF=OH，∴△AOF≌△COH（SAS），∴∠AFO=∠CHO，∴AF∥CH．

同理可得：DH∥BF，∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）设矩形EFGH的长为a、宽为b，则AC=．

∵=2，∴BD=AC=，OB=BD=，OA=AC=．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°．

∵四边形EFGH是矩形，∴∠AGH=90°，∴∠AOB=∠AGH=90°，又∵∠BAO=∠CAG，∴△BAO∽△CAG，∴，即，解得：a=2b①．

∵S菱形ABCD=ACBD==20，∴②．

联立①②得：，解得：，或（舍去），∴矩形EFGH的长为8，宽为4．