Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．

（1）求直线AB的解析式；
（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；
（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．

Answer 1

【答案】
（1）

设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0）．

∵点A（﹣4，4），点B（0，2）在直线AB上，

∴ ，解得 ，

∴直线AB的解析式为：y=﹣ x+2

（2）

∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，

∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，

①当∠BAM=90°时，如图1，

过A作AB的垂线，交x轴于点M1，交y轴于点M2，

则可知△AEM1∽△BEA，

∴ = ，

由（1）可知OE=OB=AE=4，

∴ = ，解得M1E=2，

∴OM1=2+4=6，

∴M1（﹣6，0），

∵AE∥y轴，

∴ = ，即 = ，解得OM2=12，

∴M2（0，12）；

②当∠ABM=90°时，如图2，

过B作AB的垂线，交y轴于点M3，

设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，2），

∴OE=2，OB=4，

由题意可知△BOE∽△M3OB，

∴ = ，即 = ，解得OM3=8，

∴M3（0，﹣8），

综上可知点M的坐标为（﹣6，0）或（0，12）或（0，﹣8）

（3）

不变．

理由如下：

过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．

则∠AGC=∠AHD=90°，

又∵∠HOC=90°，

∴∠GAH=90°，

∴∠DAG+∠DAH=90°，

∵∠CAD=90°，

∴∠DAG+∠CAG=90°，

∴∠CAG=∠DAH．

∵A（﹣4，4），

∴OG=AH=AG=OH=4．

在△AGC和△AHD中

∴△AGC≌△AHD（ASA），

∴GC=HD．

∴OC﹣OD=（OG+GC）﹣（HD﹣OH）=OG+OH=8．

故OC﹣OD的值不发生变化，值为8

【解析】（1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB的解析式；（2）分别过A、B两点作AB的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M点，再结合相似三角形的性质求得OM的长即可求得点M的坐标；（3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F，可证明△AEC≌△AFD，可得到EC=FD，从而可把OC﹣OD转化为FD﹣OD，再利用线段的和差可求得OC﹣OD=OE+OF=8；