Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC为边向外作等边△ACE和△BCF
（1）连AF，BE，求证：AF=BE；
（2）若CD⊥AB，连DE，DF，EF，求证：△ABC∽△FED．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质就可以得出△ACF≌△ECB就可以得出结论；
（2）由CD⊥AB就可以得出△ADC∽△CDB，进而可以得出△CDE∽△BDF，△DAE∽△DCF就可以得出∠ACB=∠EDF，$\frac{ED}{DF}=\frac{AC}{BC}$就可以得出结论．

解答 解：（1）如图1∵△ACE和△BCF是等边三角形，
∴AC=EC，CF=CB，∠ACE=∠BCF=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCF+∠ACB，
∴∠ACF=∠ECB．
在△ACF和△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACF=∠ECB}\\{CF=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ECB（SAS），
∴AF=BE；
（2）如图2，∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBD+∠BCD=90°．
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠CDB，∠CAD=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{CB}$，
∴$\frac{CD}{DB}=\frac{EC}{BF}$．
∵∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCF+∠CBD，
∴∠DCE=∠DBF．
∴△CDE∽△BDF，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{DF}$，∠2=∠4．
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{DE}{DF}$．
∵∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=90°，即∠EDF=90°，
∴∠ACB=∠EDF．
∵$\frac{AC}{CB}=\frac{DE}{DF}$，
∴△ABC∽△FED．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．