Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；
（2）已知等腰△ABC的一边a=1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

证明：（1）∵△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴方程总有实根；
（2）①当b=c时，则△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴L_△ABC=5；

②当b=a=1，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k=1，
∴c=2，
∵a+b=c，
∴不满足三角形三边的关系，舍去；
综上所述，△ABC的周长为5．
分析：（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）分b=c，b=a两种情况做．
点评：本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．