Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．

【小题1】当∠AOB=30°时，求弧AB的长度
【小题2】当DE=8时，求线段EF的长；
【小题3】在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】连接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。
∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。
∴弧AB的长=。
【小题2】连接OD，

∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°。
又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。
在Rt△ODE中，OE=。
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。
∴，即，∴EF=3。
【小题3】设OE=，
①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E₁（，0）。
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣，AE=10﹣，
∴CF∥AB，有CF=AB。
∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E₂（，0）。
②当交点E在点C的右侧时，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。
连接BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。
∴CF∥BE。∴。
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90⁰，∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴。即，
解得
∵＜0，舍去，∴E₃（，0）。

∵＜0，舍去，
又∵点E在轴负半轴上，∴E₄（，0）。
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：
E₁（，0）、E₂（，0）、E₃（，0）、E₄（，0）。解析:
（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根据弧长公式求解；
（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．