Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论．

（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是矩形．

（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？ ．

Answer 1

【答案】（1）平行四边形；（2）AC⊥BD；（3）矩形的中点四边形是菱形

【解析】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：

如图1，连结BD．

∵E、H分别是AB、AD中点，

∴EH∥BD，EH=BD，

同理FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形；

故答案为：平行四边形；

（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：

如图2，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，

∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴平行四边形EFGH是矩形；

故答案为：AC⊥BD；

（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：

如图3，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，

∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，GH=AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，∴EF=FG=GH=EH，

∴四边形EFGH是菱形．