Question

【题目】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．

（1）如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60度．求证：a2＝b（b+c）．

（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．

（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）边长为4，5，6的三角形

【解析】

（1）由A＝2∠B，∠A＝60°，得∠B＝30°，∠C＝90°，结合含30°角的直角三角形三边长的比例关系，即可得到答案；

（2）延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，易证ACD，BCD是等腰三角形，CD=BC=a，AC=AD=b，BD=b+c，易证ACD~CBD，得，进而即可得到结论；

（3）由题意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A＝2∠B，则a2＝b（b+c），且a＞b，然后分情况讨论：当a＞c＞b时，当c＞a＞b时，当a＞b＞c时，分别求出符合要求的值，即可．

（1）∵∠A＝2∠B，∠A＝60°，

∴∠B＝30°，∠C＝90°，

∴c＝2b，a＝b，

∴a2＝3b2＝b（b+c）；

（2）关系式a2＝b（b+c）仍然成立，理由如下：

延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则ACD是等腰三角形，

∴∠ACD=∠D，

∵∠BAC是ACD的一个外角，

∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，

∵∠BAC=2∠B，

∴∠B=∠D，

∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，

∴BD=AB+AD=b+c，

又∵∠D=∠D，

∴ACD~CBD，

∴，即：，

∴a2＝b（b+c）；

（3）若△ABC是倍角三角形，由∠A＝2∠B，则a2＝b（b+c），且a＞b．

①当a＞c＞b时，设a＝n+1，c＝n，b＝n﹣1，（n为大于1的正整数），

代入a2＝b（b+c），得（n+1）2＝（n﹣1）（2n﹣1），解得：n＝5，

∴a＝6，b＝4，c＝5，

②当c＞a＞b及a＞b＞c时，

均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．

综上所述：边长为4，5，6的三角形即为所求倍角三角形．