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【题目】如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OPAD,OPAB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.

(1)求证:∠CBP=ADB.

(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)BP=7.

【解析】

(1)连接OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据切线的性质得到∠OBC=90°,然后利用等量代换进行证明;

(2)证明AOP∽△ABD,然后利用相似比求BP的长.

(1)证明:连接OB,如图,

AD是⊙O的直径,

∴∠ABD=90°

∴∠A+ADB=90°

BC为切线,

OBBC,

∴∠OBC=90°

∴∠OBA+CBP=90°

OA=OB,

∴∠A=OBA,

∴∠CBP=ADB;

(2)解:∵OPAD,

∴∠POA=90°

∴∠P+A=90°

∴∠P=D,

∴△AOP∽△ABD,

,即

BP=7.

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