【题目】(1)问题发现:如图1,已知点为线段上一点,分别以线段为直角边作两个等腰直角三角形,,连接,线段之间的数量关系为__;位置关系为_________.
(2)拓展研究:如图2,把绕点C逆时针旋转,线段交于点F,则之间的关系是否仍然成立,说明理由;
(3)解决问题:如图3,已知,连接,把线段AB绕点A旋转,若,请直接写出线段的取值范围.
【答案】(1);(2)仍然成立,见解析;(3)
【解析】
(1)根据题目条件证△ACE≌△DCB,再根据全等三角形的性质即可得出答案;
(2)依然用SAS证,根据全等三角形的性质即可证得;
(3)连接BD,由(2)可知,AE=BD,在△ABD中,根据三角形三边关系即可求出AE的取值范围.
解:(1).
∵
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB
∴AE⊥BD;
(2)仍然成立.
由题意得,∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形
即,
∴
∴.
∴
∴.
(3)
连接BD.
由(2)可知,AE=BD,
在△ABD中,且,
所以
即
在AB绕点A旋转过程中,
当A,B,D三点在一条直线上时,或者
∴≤AE≤
如图所示.
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【题目】为了解某校初二学生每周上网的时间,两位学生进行了抽样调查.小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间;小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生,调查了每周上网的时间.小丽与小杰整理各自样本数据,如下表所示:
时间段 (小时/周) | 小丽抽样 人数 | 小杰抽样 人数 |
0~1 | 6 | 22 |
1~2 | 10 | 10 |
2~3 | 16 | 6 |
3~4 | 8 | 2 |
(每组可含最低值,不含最高值)
(1)你认为哪位同学抽取的样本不合理?请说明理由;
(2)根据合理抽取的样本,把上图中的频数分布直方图补画完整;
(3)专家建议每周上网2小时以上(含2小时)的同学应适当减少上网的时间,估计该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间?
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【题目】 如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,分别交边AB,AC于点D,E,连接BE,点F在边AC上,AB=AF,连接BF.
(1)求证:∠BEC=2∠A;
(2)当∠BFC=108°时,求∠A的度数.
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【题目】某商场举办抽奖活动,规则如下:在不透明的袋子中有2个黑球和2个红球,这些球除颜色外都相同.顾客每次摸出一个球,若摸到黑球,则获得1份奖品;若摸到红球,则没有奖品.
(1)如果小芳只有一次摸球机会,那么小芳获得奖品的概率为 ;
(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回),求小芳获得2份奖品的概率.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1,与y轴交于点C,下面四个结论:
①16a+4b+c>0:
②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2;
③c=3a;
④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣或﹣.
其中正确的有_____.(请将正确结论的序号全部填在横线上)
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【题目】△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1:2.且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长.
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