【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1,与y轴交于点C,下面四个结论:
①16a+4b+c>0:
②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2;
③c=3a;
④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣或﹣.
其中正确的有_____.(请将正确结论的序号全部填在横线上)
【答案】①④.
【解析】
①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知:当x=-4时,y<0,即16a-4b+c<0;②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3,1确定对称轴是:x=-1,可得:(﹣4.5,y3)与Q(,y2)是对称点,所以y1<y2;③根据对称轴和x=1时,y=0可得结论;④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,先计算c的值,再联立方程组可得结论.
解:①∵a<0,
∴抛物线开口向下,
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,
∴当x=﹣4时,y<0,
即16a﹣4b+c<0;
故①正确,符合题意;
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,
∴抛物线的对称轴是:x=﹣1,
∵P(﹣5,y1),Q(,y2),
﹣1﹣(﹣5)=4,﹣(﹣1)=3.5,
由对称性得:(﹣4.5,y3)与Q(,y2)是对称点,
∴则y1<y2;
故②不正确,不符合题意;
③∵﹣=﹣1,
∴b=2a,
当x=1时,y=0,即a+b+c=0,
∴3a+c=0,
∴c=﹣3a,
故③错误,不符合题意;
④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
当AB=BC=4时,
∵BO=1,△BOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣1=15,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴c= ,
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣;
同理当AB=AC=4时,
∵AO=3,△AOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣9=7,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴c=,
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣;
同理当AC=BC时,
在△AOC中,AC2=9+c2,
在△BOC中,BC2=c2+1,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程无实数解.
经解方程组可知有两个b值满足条件.
故④正确,符合题意.
综上所述,正确的结论是①④.
故答案是:①④.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx +3与x轴的交点为A和B,其中点A(-1,0),且点D(2,3)在该抛物线上.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)点P是线段AB上的动点(点P不与点A,B重合),过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q,连接AQ,DQ,记点P的横坐标为t.
①若时,求△面积的最大值;
②若△是以Q为直角顶点的直角三角形时,求所有满足条件的点Q的坐标.
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【题目】(1)问题发现:如图1,已知点为线段上一点,分别以线段为直角边作两个等腰直角三角形,,连接,线段之间的数量关系为__;位置关系为_________.
(2)拓展研究:如图2,把绕点C逆时针旋转,线段交于点F,则之间的关系是否仍然成立,说明理由;
(3)解决问题:如图3,已知,连接,把线段AB绕点A旋转,若,请直接写出线段的取值范围.
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【题目】甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片,甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣7,﹣1,3,乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣2,1,6.先从甲袋中随机取出一张卡片,用x表示取出的卡片上标的数值,再从乙袋中随机取出一张卡片,用y表示取出的卡片上标的数值,把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标.
(1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况;
(2)求点A落在第二象限的概率.
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【题目】某学校为了丰富学生课余生活,开展了“第二课堂”活动,推出了以下四种选修课程:.绘画;.唱歌;.跳舞;.演讲;.书法.学校规定:每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图.
请结合统计图中的信息解决下列问题:
(1)这次抽查的学生人数是多少人?
(2)将条形统计图补充完整.
(3)求扇形统计图中课程所对应扇形的圆心角的度数.
(4)如果该校共有1200名学生,请你估计该校选择课程的学生约有多少人.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧),点C、D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值;
(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODP中OD边上的高为?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
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【题目】如图,已知一次函数y1=ax+b(a≠0)与反比例函数y2=(k>0),两函数图象交于(4,1),(﹣2,n)两点.
(1)求a,k的值;
(2)若y2>y1>0,求x的取值范围.
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【题目】如图,第一象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数y=上,且OA⊥OB,,BC、AD垂直于x轴于C、D,则k的值为_____.
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【题目】如图,D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点F,若FA=FC.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;
(2)若AE⊥EC,EF=EC=5,求四边形ADCE的面积.
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