【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx +3与x轴的交点为A和B,其中点A(-1,0),且点D(2,3)在该抛物线上.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)点P是线段AB上的动点(点P不与点A,B重合),过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q,连接AQ,DQ,记点P的横坐标为t.
①若时,求△面积的最大值;
②若△是以Q为直角顶点的直角三角形时,求所有满足条件的点Q的坐标.
【答案】(1);(2)①当时,△ADQ面积最大为;②Q(,)或(,).
【解析】
(1)把A(-1,0),D(2,3)代入解析式即可求解;
(2)①由P的横坐标为t, Q(t,),求出直线AD的解析式为,设点C为直线PQ与直线AD的交点,求得点坐标为(),得到,利用,将△面积表示为关于t的二次函数,故可求解;
②△AQD是以Q为直角顶点的直角三角形时,∠AQD=90°,过点D作DK⊥PQ于点K,
证明△PQA∽△KDQ得到,代入得,解出t即可求解.
(1)解:将A(-1,0)和点D(2,3)代入得,
,
解得,
∴该抛物线的解析式为.
(2)①由P的横坐标为t,则P(t,0),Q(t,).
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)
把A(-1,0),D(2,3)代入得
解得
∴直线AD的解析式为
如图:设点C为直线PQ与直线AD的交点
当时,
∴点坐标为()
∴
∴
抛物线开口向下
∴当时,△ADQ面积最大为;
②△AQD是以Q为直角顶点的直角三角形时,∠AQD=90°,
过点D作DK⊥PQ于点K,
∴∠APQ=∠QKD=90°,
∵∠DQK+∠PQA=90°,
又∠DQK+∠KDQ=90°,
∴∠PQA=∠KDQ,
∴△PQA∽△KDQ
∴,
∴,
∴,
∵,(即Q不与A、D重合),
∴,整理得:,
解得,
经验证,、均符合题意,
其中:,符合图a的情况,,符合图b的情况.
当时,;当时,,
∴Q(,)或(,).
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=32°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:
①AD是∠BAC的平分线;
②CD是△ADC的高;
③点D在AB的垂直平分线上;
④∠ADC=61°.
其中正确的有( ).
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】为了解某校初二学生每周上网的时间,两位学生进行了抽样调查.小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间;小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生,调查了每周上网的时间.小丽与小杰整理各自样本数据,如下表所示:
时间段 (小时/周) | 小丽抽样 人数 | 小杰抽样 人数 |
0~1 | 6 | 22 |
1~2 | 10 | 10 |
2~3 | 16 | 6 |
3~4 | 8 | 2 |
(每组可含最低值,不含最高值)
(1)你认为哪位同学抽取的样本不合理?请说明理由;
(2)根据合理抽取的样本,把上图中的频数分布直方图补画完整;
(3)专家建议每周上网2小时以上(含2小时)的同学应适当减少上网的时间,估计该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间?
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【题目】随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注.某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两幅统计图.
(1)求:本次被调查的学生有多少名?补全条形统计图.
(2)估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少.
(3)被调查的“非常了解”的学生中有2名男生,其余为女生,从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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【题目】 如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,分别交边AB,AC于点D,E,连接BE,点F在边AC上,AB=AF,连接BF.
(1)求证:∠BEC=2∠A;
(2)当∠BFC=108°时,求∠A的度数.
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【题目】某商场举办抽奖活动,规则如下:在不透明的袋子中有2个黑球和2个红球,这些球除颜色外都相同.顾客每次摸出一个球,若摸到黑球,则获得1份奖品;若摸到红球,则没有奖品.
(1)如果小芳只有一次摸球机会,那么小芳获得奖品的概率为 ;
(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回),求小芳获得2份奖品的概率.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1,与y轴交于点C,下面四个结论:
①16a+4b+c>0:
②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2;
③c=3a;
④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣或﹣.
其中正确的有_____.(请将正确结论的序号全部填在横线上)
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