[题目]如图.在△ABC中.∠C=90°.∠B=32°.以A为圆心.任意长为半径画弧分别交AB.AC于点M和N.再分别以M.N为圆心.大于MN的长为半径画弧.两弧交于点P.连接AP并延长交BC于点D.则下列说法:①AD是∠BAC的平分线,②CD是△ADC的高,③点D在AB的垂直平分线上,④∠ADC=61°．其中正确的有( ).A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：

①AD是∠BAC的平分线；

②CD是△ADC的高；

③点D在AB的垂直平分线上；

④∠ADC=61°．

其中正确的有（）.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

【答案】C

【解析】

根据角平分线的做法可得①正确，再根据直角三角形的高的定义可得②正确，然后计算出∠CAD=∠DAB=29°，可得AD≠BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此③错误，根据三角形内角和可得④正确．

解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；

∵∠C=90°，

∴CD是△ADC的高，故②正确；

∵∠C=90°，∠B=32°，

∴∠CAB=58°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠DAB=29°，

∴AD≠BD，

∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误；

∵∠CAD=29°，∠C=90°，

∴∠CDA=61°，故④正确；

共有3个正确，

故选：C．

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（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．

【解析】试题分析：（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；

（2）存在．证明方法类似（1）；

（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出=，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；

试题解析：解：（1）连接：AB=PB．理由：如图1中，连接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．

（2）存在，理由：如图2中，连接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．

（3）连接BQ．

易证△ABO≌△PBQ，∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO=30°，∴△ABP∽△OBQ，∴ =，∵∠AOB=30°，∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，∴k=0.5．