Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．

（1）求证：∠1+∠2=90°；
（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC；

（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合）， 的值是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：AD∥BC，

∠ADC+∠BCD=180，

∵DE平分∠ADB，

∠BDC=∠BCD，

∴∠ADE=∠EDB，

∠BDC=∠BCD，

∵∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠EDB+∠BDC=90°，

∠1+∠2=90°

（2）

解：∠FBD+∠BDE=90°﹣∠F=35°，

∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，

∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=70°，

又∵四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，

即∠ABC=70°

（3）

解： 的值不变．

证明：在△BMF中，

∠BMF=∠DMH=180°﹣∠ABD﹣∠BFH，

又∵∠BAD=180°﹣（∠ABD+∠ADB），

∠DMH+∠BAD=（180°﹣∠ABD﹣∠BFH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB），

=360°﹣∠BFH﹣2∠ABD﹣∠ADB，

∠DNG=∠FNE=180°﹣ ∠BFH﹣∠AED，

=180°﹣ ∠BFH﹣∠ABD﹣ ∠ADB，

= （∠DMH+∠BAD），

∴ =2

【解析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递．（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四边形ABCD中，AD∥BC，∠F=55°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；（3）在△BMF中，根据角之间的关系∠BMF=180°﹣∠ABD﹣∠BFH，得∠GND=180°﹣∠AED﹣∠BFG，再根据角之间的关系得∠BAD= ﹣∠DBC，在综上得出答案．
【考点精析】本题主要考查了角的平分线和平行线的性质的相关知识点，需要掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补才能正确解答此题．