Question

4．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD的顶点A在直线y=2x+4上，点B在第二象限，C，D两点均在x轴上，且点C在点D的左侧，抛物线y=-（x-m）²+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，且这条抛物线交y轴于点E．
（1）写出A，C两点的坐标；
（2）当抛物线y=-（x-m）²+n经过点C时，求抛物线所对应的函数表达式；
（3）当点E在AC所在直线上时，求m的值；
（4）当点E在x轴上方时，连接CE，DE，当△CDE的面积随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正方形的边长为1可求得点A的纵坐标，将点A的纵坐标代入代入y=2x+4可求得点A的横坐标，由点A的坐标可求得点C的坐标；
（2）由抛物线y=-（x-m）²+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，可得到n=2m+4．再将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得m、n的值，从而可求得抛物线的解析式；
（3）由n与m的关系可将抛物线的解析式转为y=-（x-m）²+2m+4．然后将点E的坐标（用含m的式子表示），接下来，在求得AC的解析式，最后将点E的坐标代入AC的解析式可求得m的值；
（4）由S_△CDE=$\frac{1}{2}$DC•EO可得到△CDE的面积与m的函数关系式，依据二次函数的增减性和点E在x的上方可求得m的取值范围．

解答 解：（1）∵正方形的边长为1，
∴点A的纵坐标为1．
∵将y=1代入y=2x+4得：2x+4=1，解得；x=-$\frac{3}{2}$，
∴A（-$\frac{3}{2}$，1）．
∴D（-$\frac{3}{2}$，0）
∵CD=1，
∴C（$-\frac{5}{2}$，0）
（2）∵抛物线y=-（x-m）²+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，
∴n=2m+4．
∴抛物线的解析式为y=-（x-m）²+2m+4．
∵抛物线经过点C（-$\frac{5}{2}$，0），
∴（-$\frac{5}{2}$-m）²+2m+4=0．
解得：m₁=m₂=-$\frac{3}{2}$．
∴n=2×（-$\frac{3}{2}$）+4=1．
∴抛物线的解析式为y=-（x+$\frac{3}{2}$）²+1（y=-x²-3x-$\frac{5}{4}$）．
（3）∵抛物线y=-（x-m）²+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，
∴n=2m+4．
∴抛物线的解析式为y=-（x-m）²+2m+4．
∵将x=0代入得：y=-m²+2m+4．
∴E（0，-m²+2m+4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将A（-$\frac{3}{2}$，1、C（$-\frac{5}{2}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=1}\\{-\frac{5}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，解得k=1，b=$\frac{5}{2}$，
∴直线AC的解析式为y=x+$\frac{5}{2}$．
∵点E在直线AC上，
∴-m²+2m+4=$\frac{5}{2}$．
解得：m₁=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，m₂=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（4）S_△CDE=$\frac{1}{2}$DC•EO=-$\frac{1}{2}$m²+m+2，
∵m=-$\frac{b}{2a}$=1，a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当m≤1时，y随x的增大而增大．
令-$\frac{1}{2}$m²+m+2=0，解得：m₁=1-$\sqrt{5}$，m₂=1+$\sqrt{5}$（舍去）．
∵点E在x轴的上方，
∴m＞1-$\sqrt{5}$．
∴m的范围是1-$\sqrt{5}$＜m≤1．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的图形与性质，依据二次函数的增减性确定出m的取值范围是解题的关键．