为积极响应“喜迎G20峰会.当好东道主号召.交通部门准备在一条60米长.11.8米宽的道路边规划停车位.按每辆车长5米.宽2.5米设计.停车后道路仍有不少于7米的路宽保证两车可以双向通过.如图设计方案1:车位长边与路边夹角为45°.方案2:车位长边与路边夹角为30°．($\sqrt{2}≈1.4.\sqrt{3}≈1.7$)(1)请� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．为积极响应“喜迎G20峰会，当好东道主”号召，交通部门准备在一条60米长，11.8米宽的道路边规划停车位，按每辆车长5米，宽2.5米设计，停车后道路仍有不少于7米的路宽保证两车可以双向通过，如图设计方案1：车位长边与路边夹角为45°，方案2：车位长边与路边夹角为30°．（$\sqrt{2}≈1.4，\sqrt{3}≈1.7$）
（1）请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？
（2）计算符合通行要求的方案中最多可以划出几个这样的停车位？
（3）若车位长边与路边夹角为α，能否设计一个满足通行要求且停车位更多的新方案？若能，写处此时α满足的一个关系式；若不能，请说明理由．

分析（1）根据正弦函数求得DE、DF的长，即可判定方案是否能保证通行要求；
（2）根据正弦函数和余弦函数求得方案2中的GQ的长，即可求得此方案中最多可以停多少辆车；
（3）如图所示新方案，根据车的宽度即可计算出最多停放车辆数．

解答解：（1）方案1：在直角△ADE中，DE=AD•cos45°=2.5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$（米），
如图，AB=2.4×sin45°=2.4×$\frac{5\sqrt{2}}{4}$=3$\sqrt{2}$，在直角△DFC中，DF=DC•sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（米），
所以EF=DE+DF=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$≈5.25＞11.8-7，不符合通行要求；
方案2，在直角△MQP中，QP=MP•cos30°=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$（米）．
在直角△PRO中，PR=OP•sin30°=$\frac{5}{2}$（米），
QR=QP+PR=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2.5≈4.625＜11.8-7，符合通行要求；

（2）方案2：
过第一辆车的左下角N作直线GH垂直于停车位的长边，如图：
∵MQ=MR•sin30°=2.5×$\frac{1}{2}$=1.25（米），
GM=5×cos30°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈4.3（米），
∴GQ=MQ+GM=1.25+4.3=5.55（米），
∵IN=$\frac{NO}{tan30°}$≈4.33（米），
∴IH=IN•cos30°≈3.75（米），
∵IT=MQ=1.25（米），
∴TH=IT+IH=1.25+3.75=5（米），
即从第二辆车开始，每增加一辆车，增加的长度为5米．
$\frac{60-5.55}{5}$+1=10.89+1=11.89（辆）．
取整数11，即方案2中最多可以可以设计11个停车位；

（3）
当刚好11.8-7=4.8时，可以使停车位更多，
此时α满足2.5cosα+5sinα=4.8．

点评本题考查了学生利用三角函数解决实际问题的能力以及矩形的性质．这就要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．

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