Question

12．如图，线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁）（即P₁B²=AP₁•AB），点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），点P₃是线段AP₂的黄金分割点（AP₃＜P₂P₃），…，依此类推，则线段AP₂₀₁₅的长度是（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）叫做黄金比进行解答即可．

解答 解：根据黄金比的比值，BP₁=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则AP₁=1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
AP₂=（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²，
AP₃=（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）³，
…
依此类推，则线段AP₂₀₁₅的长度是（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²⁰¹⁵
故答案为：（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²⁰¹⁵．

点评 本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．