如图.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.对称轴是直线x=1.直线BC与抛物线的对称轴交于点D．(1)求抛物线的函数表达式,(2)求直线BC的函数表达式,(3)点E为y轴上一动点.CE的垂直平分线交CE于点F.交抛物线于P.Q两点.且点P在第三象限．①当线段PQ=$\frac{3}{4}$AB时.求tan∠CED的值,②当以点C.D.E为顶点的三角形是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=$\frac{3}{4}$AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

分析（1）利用抛物线的对称轴方程可计算出b=-2，再把C（0，-3）代入抛物线解析式可得到c=-3，所以抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题得到A（-1，0），B（3，0），然后利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；
（3）①由AB=4得PQ=$\frac{3}{4}$AB=3，根据抛物线的对称性得到P点和Q点关于直线x=1对称，则P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$），所以F（0，-$\frac{7}{4}$），则FC=3-OF=$\frac{5}{4}$，由于PQ垂直平分CE于点F，则CE=2FC=$\frac{5}{2}$，易得D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，如图1，则DG=1，CG=1，所以GE=CE=CG=$\frac{3}{2}$，然后在Rt△EGD中，利用正切的定义求解；
②设E（0，t），利用两点间的距离公式得到DE²=1²+（t+2）²，CD²=1²+（-2+3）²=2，EC²=（t+3）²，然后分类讨论：当∠CDE=90°时，DE²+CD²=EC²，即1²+（t+2）²+2=（t+3）²；当∠CED=90°时，DE²+CE²=CD²，即1²+（t+2）²+（t+3）²=2；当∠ECD=90°时，CD²+CE²=DE²，即2+（t+3）²=1²+（t+2）²，再分别解方程求出t确定E点坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征确定P点坐标．

解答解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1
∴-$\frac{b}{2}$=1，解得b=-2，
∵抛物线y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3；
（2）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
设直线BC的函数表达式为y=kx+m，
把C（0，-3），B（3，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{3k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
（3）①∵AB=4，
∴PQ=$\frac{3}{4}$AB=3，
∵PQ⊥y轴，
∴PQ∥x轴，
∴P点和Q点关于直线x=1对称，
∴P点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，y=x²-2x-3=-$\frac{7}{4}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$），
∴F（0，-$\frac{7}{4}$），
∴FC=3-OF=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=$\frac{5}{2}$，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），
过点D作DG⊥CE于点G，如图1，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE=CG=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
在Rt△EGD中，tan∠CED=$\frac{DG}{EG}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$；
②设E（0，t），
DE²=1²+（t+2）²，CD²=1²+（-2+3）²=2，EC²=（t+3）²，
当∠CDE=90°时，DE²+CD²=EC²，即1²+（t+2）²+2=（t+3）²，解得t=-1，此时P（1-2$\sqrt{2}$，-2）；
当∠CED=90°时，DE²+CE²=CD²，即1²+（t+2）²+（t+3）²=2，解得t₁=-2，t₂=-3（舍去），此时P（1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
当∠ECD=90°时，CD²+CE²=DE²，即2+（t+3）²=1²+（t+2）²，解得t=-3（舍去），
综上所述，P嗲坐标为（1-$\sqrt{2}$，-2）或（1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；

点评本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形的性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长．

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