Question

2．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．
（1）如图①，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？并证明．
（2）如图②，若点P在DC的延长线上，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？并注明；
（3）如图③，若点P在CD的延长线上呢？直接写出结论不需证明．

Answer 1

分析 （1）DE+EF=BE．根据正方形的性质，证明△DAF≌△ABE即可；
（2）DE-EF=BE．运用类比思想，根据正方形的性质，证明△DAF≌△ABE即可；
（3）EF=BE+DF．证明方法类比（1）、（2）．

解答 解：（1）DE+EF=BE，理由如下：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
即∠BAE+∠EAD=90°，
∵BE⊥PA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠EAD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EAD}\\{∠AEB=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABE，
∴AE=DF，BE=AF
∴DF+EF=AE+EF=AF=BE，即DE+EF=BE．
（2）DE-EF=BE，理由如下：
在正方形ABCD中AB=AD，∠BAD=90°，
即∠BAE+∠EAD=90°
∵BE⊥PA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠EAD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EAD}\\{∠AEB=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABE，
∴AE=DF，BE=AF，
∵AE-EF=AF，即DE-EF=BE；
（3）EF=BE+DF．
理由如下：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
即∠BAE+∠FAD=90°
∵BE⊥PA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠FAD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FAD}\\{∠AEB=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABE，
∴AE=DF，BE=AF，
∵EF=AF+AE，
∴EF=BE+DF．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，运用类比思想，在变化中发现不变是解决问题的关键．