Question

11．（1）已知二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴只有一个交点：
①b、c的关系式为b²=c；
②设直线y=9与该抛物线的交点为A、B，则|AB|=6；
③若该抛物线上有两个点C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．
（2）若二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴有两个交点E（5，0）、F（k，0），且线段EF（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，这些整数之和为18：
①b、c的关系式为c=10b-25；
②k的取值范围是7≤k＜8；当k为整数时，b=6．

Answer 1

分析 （1）①根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则（2b）²-4c=0，由此可得到b、c 应满足关系；
②把y=9代入y=x²-2bx+bc，得到方程x²-2bx+bc-9=0，根据根与系数的关系和①的结论即可求得；
③把A（m，n）、B（m+4，n）分别代入抛物线的解析式，再根据①的结论即可求出n的值；
（2）①因为y=x²-2bx+c图象与x轴交于E（5，0），即可得到25-10b+c=0，所以c=10b-25；
②根据①的距离进而得到k=2b-5，再根据E、F之间的整数和为18，即可求出k的取值范围和b的值．

解答 解：（1）①∵二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴只有一个交点，
∴（2b）²-4c=0，
∴b²=c；
故答案为b²=c；
②把y=9代入y=x²-2bx+c得，9=x²-2bx+c，
∴x²-2bx+c-9=0，
∵x₁+x₂=2b，x₁x₂=c-9，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2b）²-4（c-9）=36，
∴|AB|=|x₁-x₂|=6；
故答案为6；
③|CD|=|x_C-x_D|=|m-（m+4）|=4，
∵m+4）²-2b（m+4）+b²，解得b=m+2，
代入n=m²-2bm+b²，解得n=4；
（2）①∵y=x²-2bx+c图象与x轴交于E（5，0）
∴25-10b+c=0，
∴c=10b-25；
故答案为c=10b-25；
②∵c=10b-25，
∴y=x²-2bx+c=10b-25，令y=0得x²-2bx+10b-25=0
解得：x₁=5，x₂=2b-5，即k=2b-5；
∵整数和为18，则7≤k＜8，
∴k=7，
∴7=2b-5，解得b=6．
故答案为7≤k＜8，6．

点评 本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．