Question

7．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在线段OC上，过点P与x轴平行的直线交AC于点M，交BC于点N，且MN=4，求线段ON的长．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得CN与CB的关系，根据勾股定理，可得CB的长，根据直角三角形的性质，可得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（-2，0），点B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c=0}\\{36+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-12}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x-12；
（2）∵OA=2，OB=6，
∴AB=OA+OB=8．
∵MN∥AB，MN=4，
∴△CMN∽△CAB，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CN}{CB}$=$\frac{4}{8}$，
∴$\frac{CN}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴点N为CB的中点，
∵点C坐标为（0，-12）
∴OC=12，
在Rt△COB中，根据勾股定理得：
CB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用相似三角形的判定与性质得出N为BC的中点是解题关键，又利用了勾股定理，直角三角形的性质．