Question

18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=kx+12与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若tan∠PDO=$\frac{3}{2}$，求k的值；
（2）在（1）的条件下，当直线y=kx+12绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在NO平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．

Answer 1

分析 （1）由直线y=kx+12经过点（0，12）且tan∠PDO=$\frac{3}{2}$，求得D（8，0），把D（8，0）代入y=kx+12得，即可得到结果；
（2）如图1假设存在ON平分∠CNM的情况，①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H由ON平分∠CNM，OC⊥BC，得到OH=OC=6，由（1）知OP=12，得到∠OPM=30°由三角函数的定义求得OM=OP•tan30°=4$\sqrt{3}$，DM=8-4$\sqrt{3}$；②当直线PM与直线BC和x轴相交时同上可得DM=8$+4\sqrt{3}$；
（3）如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′，则有PO′=OP，由（1）得BC垂直平分OP，得到△OPO′为等边三角形，求出∠OPD=30°，而由（2）知∠OPD＞30°所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上，如图3设沿直线y=-$\frac{3}{2}$+a，将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a由题意得CP′=a-6，∠OPD=∠AO′O在Rt△OPD中，tan∠OPD=$\frac{OD}{OP}$，在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=$\frac{OA}{AO′}$，根据三角函数值相等得到$\frac{OD}{OP}=\frac{OA}{AO′}$即在Rt△AP′O′中，由勾股定理得（a-6）²+9²=a²，解得a=$\frac{39}{4}$，12-a=$\frac{9}{4}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵直线y=kx+12经过点（0，12）且tan∠PDO=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{PO}{DO}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=8，∴D（8，0），
把D（8，0）代入y=kx+12得，0=8k+12，
∴k=-$\frac{3}{2}$；

（2）如图1假设存在ON平分∠CNM的情况，
①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（1）知OP=12，∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=4$\sqrt{3}$，∵OD=8，
∴DM=8-4$\sqrt{3}$；
②当直线PM与直线BC和x轴相交时
同上可得DM=8$+4\sqrt{3}$；

（3）如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′，则有PO′=OP，
由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′，
∴△OPO′为等边三角形，∴∠OPD=30°，
而由（2）知∠OPD＞30°，
所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上，
如图3设沿直线y=-$\frac{3}{2}$+a，将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，
连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a
由题意得：CP′=a-6，∠OPD=∠CO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD=$\frac{OD}{OP}$，
在Rt△OCO′中，tan∠CO′O=$\frac{OC}{CO′}$，
∴$\frac{OD}{OP}=\frac{OC}{CO′}$，∴CO′=9，
在Rt△CP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²，
解得a=$\frac{39}{4}$，12-a=$\frac{9}{4}$，
所以将直线y=-$\frac{3}{2}$x+12沿y轴向下平移$\frac{9}{4}$个单位得直线y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{39}{4}$，将矩形OABC沿直线y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{39}{4}$，折叠，点O恰好落在边BC上．

点评 本题考查了求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，图形的变换-折叠问题，三角形函数，平移变换，正确的作出辅助线是解题的关键．