Question

1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于点A（1，3），一次函数y=x+2的图象交x轴负半轴于点C，交y轴正半轴于点B．
（1）根据图象直接回答，不等式x+2＜kx+b的解集为x＜1
（2）如果D（4，0），请直接写出△ACD的面积为9
（3）在x轴是否存在动点M，使AM+BM的值最小？若存在，请求出此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）确定一次函数y=x+2的图象在一次函数y=kx+b的图象下方部分所有的点的横坐标所构成的集合；
（2）根据CD的长以及CD边上的高，即可得到△ACD的面积；
（3）先根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短得到点M的位置，再根据待定系数法即可得到过M的直线解析式，求得点M的坐标．

解答 解：（1）由题可得，不等式x+2＜kx+b的解集为x＜1；
故答案为：x＜1；
（2）∵一次函数y=x+2的图象交x轴负半轴于点C，
∴C（-2，0），
又∵D（4，0），A（1，3），
∴△ACD的面积=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
故答案为：9；
（3）在x轴存在动点M，使AM+BM的值最小．
如图，作点B关于x轴的对称点B'，则B'（0，-2），
设直线AB'的解析式为y=mx+n，则
$\left\{\begin{array}{l}{3=m+n}\\{-2=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AB'的解析式为y=5x-2，
∴当y=0时，x=$\frac{2}{5}$，
∴点M的坐标为（$\frac{2}{5}$，0）．

点评 本题主要考查了两直线相交问题以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．