Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．

（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC= AM；

（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD= BD，

∵BD=24，

∴OB=12，

在Rt△OAB中，

∵AB=13，

∴OA= = =5．

（2）

证明：如图2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

由已知AF=AM，∠MAF=60°，

∴△AFM为等边三角形，

∴∠M=∠AFM=60°，

∵点M，F，C三点在同一条直线上，

∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，

∴∠FAC=∠FCA=30°，

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，

在Rt△ACM中，∠ACM=180°﹣90°﹣60°=30°．

∴AC= AM．

（3）

解：如图3，连接EM，

∵△ABE是等边三角形，

∴AE=AB，∠EAB=60°，

由（1）知△AFM为等边三角形，

∴AM=AF，∠MAF=60°，

∴∠EAM=∠BAF，

在△AEM和△ABF中，

，

∴△AEM≌△ABF（SAS），

∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO

∴ BFAO=40，BF=16，

∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4，

AF= = ，

∴△AFM的周长为3 ．

【解析】（1）在Rt△OAB中，利用勾股定理OA= 求解．（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°，即可．（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF= = = ，得出△AFM的周长为3 ．
【考点精析】通过灵活运用全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等即可以解答此题．