Question

【题目】如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连结．

（1）当秒时，求的长度(结果保留根号)；

（2）当为等腰三角形时，求的值；

（3）过点做于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？

Answer 1

【答案】（1）2；（2）4或16或5；（3）5或11．

【解析】

（1）根据题意得BP=2t，从而求出PC的长，然后利用勾股定理即可求出AP的长；

（2）先利用勾股定理求出AB的长，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别列出方程即可求出t的值；

（3）根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据勾股定理求出AE，分别利用角平分线的性质和判定求出AP，利用勾股定理列出方程，即可求出t的值．

（1）根据题意，得BP=2t，

∴PC=16－2t=16－2×3=10，

∵AC=8，

在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP===2．

答：AP的长为2．

（2）在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，

根据勾股定理，得AB===8

若BA=BP，

则 2t=8，

解得：t=4；

若AB=AP，

∴此时AC垂直平分BP

则BP=32，

2t=32，

解得：t=16；

若PA=PB=2t，CP=16－2t

∵PA2= CP2＋AC2

则(2t)2=(16－2t)2＋82，

解得：t=5．

答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．

（3）若P在C点的左侧，连接PD

CP=16－2t

∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC

∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=5

根据勾股定理可得AE=，

∴∠EPD=∠CPD

∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP

∴DP平分∠EDC

∴PE=CP=162t

∴AP=AE＋EP=20－2t

∵PA2= CP2＋AC2

则(20－2t)2=(16－2t)2＋82，

解得：t=5；

若P在C点的右侧，连接PD

CP=2t－16

∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC

∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=5

根据勾股定理可得AE=

∴∠EPD=∠CPD

∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP

∴DP平分∠EDC

∴PE=CP=2t－16

∴AP=AE＋EP=2t－12

∵PA2= CP2＋AC2

则(2t－12)2=(2t－16)2＋82，

解得：t=11；

答：当t为5或11时，能使DE=CD．