Question

【题目】△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF．

⑴说明：OE＝OF

⑵当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，证明你的结论

⑶在⑵的条件下，当⊿ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，证明见解析；（3）△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，证明见解析.

【解析】

（1）利用平行线的特殊性质，内错角相等，以及角平分线的性质，等量代换，最后求出；

（2）先证明平行四边形，再证明对角线相等，推出四边形为矩形；

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.

（1）∵MN∥BC，

∴，，

又已知CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，

∴，，

∴，，

∴，，

∴

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵当点O运动到AC的中点时，，

又∵，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵，

∴，

∴，即，

∴四边形AECF是矩形;

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．

∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

已知MN∥BC，当，则

，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形.