Question

5．如图所示，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C．
（1）试确定该二次函数的表达式；
（2）若点M是第四象限内的一点，且在抛物线y=x²+bx+c上，试求四边形OCMB的面积取最大值时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=（x+1）（x-3），然后变形为一般式即可；
（2）作MN⊥x轴于N，如图，设M（x，x²-2x-3），则ON=x，MN=-x²+2x+3，BN=3-x，易得C（0，-3），利用S_{四边形OCMB}=S_梯形OCMN+S_△MNB可得S_{四边形OCMB}=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+$\frac{9}{2}$，然后根据二次函数的性质得当x=$\frac{3}{2}$时，于是可确定此时M点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）作MN⊥x轴于N，如图，
设M（x，x²-2x-3），则ON=x，MN=-x²+2x+3，BN=3-x，
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3），
S_{四边形OCMB}=S_梯形OCMN+S_△MNB
=$\frac{1}{2}$（3-x²+2x+3）•x+$\frac{1}{2}$•（-x²+2x+3）•（3-x）
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
当x=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$时，S_{四边形OCMB}有最大值，
此时M点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．