Question

如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则下列结论中成立的有
①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD∽△ABC．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：由△ABC中，∠A=36°，AB=AC，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得∠C的度数；又由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形，继而可求得∠ABD与∠DBC的度数，证得BD是∠ABC的平分线，然后由∠DBC=∠A=36°，∠C是公共角，证得△BCD∽△ABC．
解答：∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C==72°，
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形；
故③正确；
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD是∠ABC的平分线；
故②正确；
∵∠DBC=∠A=36°，∠C是公共角，
∴△BCD∽△ABC．
故④正确．
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．