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【题目】如图,在RtABC中,ACB=90°BDABC的平分线,点OAB上,O经过BD两点,交BC于点E

1)求证:ACO的切线;

2)若AB=6sinBAC=,求BE的长.

【答案】(1)证明见解析;(23.2.

【解析】试题分析:(1)连接DO,由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠1=∠3,证出DO∥BC,由平行线的性质得出∠ADO=90°,即可得出结论;

2)设⊙O的半径为R,由三角函数求出BC,由平行线得出△AOD∽△ABC,得出对应边成比例,求出半径OD,过OOF⊥BCF,则BE=2BF,如图所示:则OF∥AC,由平行线的性质得出∠BOF=∠BAC,由三角函数求出BF,即可得出结果.

试题解析:(1)连接DO,如图1所示

∵BD∠ABC的平分线,

∴∠1=∠2

∵OB=OD

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴DO∥BC

∵∠C=90°

∴∠ADO=90°

AC⊥OD

∴AC⊙O的切线.

2)设⊙O的半径为R

RtABC中,ACB=90°sinBAC=

BC=×6=4

由(1)知,OD∥BC

∴△AOD∽△ABC

解得:R=2.4

OOF⊥BCF,如图所示:

BE=2BFOF∥AC

∴∠BOF=∠BAC

sinBOF=

BF=×2.4=1.6

∴BE=2BF=3.2

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