Question

【题目】如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．

（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．

∵⊙O与PA相切于点C，

∴OC⊥PA．

∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，

∴OD=OC．

∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．

∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．

∵⊙O与PA相切于点C，

∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC，

∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．

∵EF是直径，

∴∠ECF=90°．

设CF=x，则EC=2x．

则x2+（2x）2=62，

解得x= ．

则EC=2x= ．

【解析】（1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；（2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=5，则PE=8．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．