Question

已知，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD=∠EBD，DE垂直平分AB，点E为垂足，求证：
（1）∠A=30°；
（2）AD=2CD．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，利用等腰三角形的性质得到∠A=∠DBA，再由BD平分∠ABC得到∠DBA=∠DBC，则∠ABC=2∠A，然后根据三角形内角和定理计算出∠A的度数．
（2）利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”和（1）中AD=BD证得结论．

解答：证明：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=∠DBC，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°．

（2）由（1）知∠A=30°．则∠ABC=60°．
∵∠CBD=∠EBD，∠ABC=∠CBD+∠EBD，
∴∠CBD=∠EBD=30°，
∴DB=2DC．
又由（1）知，DA=DB，
∴AD=2CD．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．