Question

8．已知x₁，x₂是关于x的方程x²+m²x+n=0的两个实根，y₁、y₂是关于y的方程y²+5my+7=0的两个实数根，且x₁-y₁=2，x₂-y₂=2，则m=4，n=-29．

Answer 1

分析 由根与系数的关系可得：x₁+x₂=-m²，y₁+y₂=-5m，y₁•y₂=7与x₁-y₁=x₂-y₂=2联立可解出m、n的值．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=-m²，y₁+y₂=-5m，
两式相减得x₁-y₁+x₂-y₂=-m²+5m，
所以2+2=-m²+5m，
整理得m²-5m+4=0，解得m₁=1，m₂=4，
当m=1时，方程x²+x+1=0和方程y²+5y+7=0都没有实数根，
所以m的值为4．
因此y₁+y₂=-20，联立y₁•y₂=7，解得y₁=-10+$\sqrt{93}$，y₂=-10-$\sqrt{93}$．
又x₁-y₁=x₂-y₂=2
解得x₁=-8+$\sqrt{93}$，x₂=-8-$\sqrt{93}$，
又x₁•x₂=n
解得：n=-29
m=4，n=-29．
故答案为：4，-29．

点评 本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．