【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与 x轴平行,O为坐标原点.
(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.
【答案】(1)y=x2-1.
(2)直线l与⊙A相切
(3)
【解析】(1)因为当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等,故b=0.
设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-4,3)、B(2,0)代入到y=ax2+bx+c,得
解得
∴这条抛物线的解析式为y=x2-1.
设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-4,3)、B(2,0)代入到y=kx+b,得
解得
∴这条直线的解析式为y=-x+1.
(2)依题意,OA=即⊙A的半径为5.
而圆心到直线l的距离为3+2=5.
即圆心到直线l的距离=⊙A的半径,
∴直线l与⊙A相切.
(3)由题意,把x=-1代入y=-x+1,得y=,即D(-1, ).
由(2)中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等,且当点A成为抛物线上一个动点时,仍然具有这样的性质,于是过点D作DH⊥直线l于H,交抛物线于点P,此时易得DH是D点到l最短距离,点P坐标(-1,-)此时四边形PDOC为梯形,面积为.
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【题目】一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE=米时,有DC2=AE2+BC2.
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【题目】(1)如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)如果(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)如果(1)中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从(1)(2)(3)的结果中你能看出什么规律?
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,点E是BC边上一点,且BE:EC=2:1,AE与BD交于点F,则△AFD与四边形DFEC的面积之比是________.
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【题目】在ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F 在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于 .
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【题目】我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?
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