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【题目】已知抛物线yax2bxc经过A(-43)、B20)两点,当x=3x=3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C0,-2)的直线lx轴平行,O为坐标原点.

1)求直线AB和这条抛物线的解析式;

2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l⊙A的位置关系,并说明理由;

3)设直线AB上的点D的横坐标为-1Pmn)是抛物线yax2bxc上的动点,当△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.

【答案】(1yx2-1.

2)直线l⊙A相切

3

【解析】(1)因为当x=3x=3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等,故b=0.

设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-43)、B20)代入到yax2bxc,得

解得

这条抛物线的解析式为yx2-1.

设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-43)、B20)代入到y=kx+b,得

解得

这条直线的解析式为y-x+1.

2)依题意,OA=⊙A的半径为5.

而圆心到直线l的距离为3+2=5.

即圆心到直线l的距离=⊙A的半径,

直线l⊙A相切.

3)由题意,把x=-1代入y=-x+1,得y=,即D-1.

由(2)中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等,且当点A成为抛物线上一个动点时,仍然具有这样的性质,于是过点DDH直线lH,交抛物线于点P,此时易得DHD点到l最短距离,点P坐标(-1-)此时四边形PDOC为梯形,面积为.

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