Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．

（1）当△ABD的面积为4时，

①求点D的坐标；

②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；

（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）不变化，值为8，理由见解析

【解析】

（1）先将已知点B坐标代入解析式求出a，再根据△ABD的面积，求出D的纵坐标，将其代入抛物线求出D点坐标，根据∠MDO=∠BOD分两种情况讨论，并求出M坐标

（2）设出点D的坐标，利用平行线分线段成比例定理表示出OE、OF求和即可得出结论

（1）∵抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），

∴A（﹣2，0），4a+4＝0，

∴a＝﹣1，AB＝4，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，

①设D（m，﹣m2+4），

∵△ABD的面积为4，

∴

∴，

∵点D在第一象限，

∴，

∴，

②如图1，点M在OD上方时，

∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，

∴，当M在OD下方时，

设DM交x轴于G，设G（n，0），

∴OG＝n，

∵，

∴，

∵∠MDO＝∠BOD，

∴OG＝DG，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴直线DG的解析式为①，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4②，

联立①②得， ，此时交点刚好是D点，

所以在OD下方不存在点M．

（2）OE+OF的值不发生变化，

理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，

∴OF∥DH，

∴，

设D（b，﹣b2+4），

∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，

∵OA＝2，

∴，

∴，

同理：OE＝2（2+b），

∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．