Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE．

（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；

（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据圆周角定理即可证得BD是外接圆的直径，则作出BD的中点就是圆的圆心，连接OE，证明OE⊥AC即可证得AC是切线；
（2）求出AB、AC，根据Rt△ABC的内切圆的半径r= ，计算即可；

（1）证明：作BD的中点O，连接OE．

∵DE⊥BE，
∴BD是圆的直径．
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠BEO=90°，即∠CEO=90°．
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圆的切线；
（2）解：在Rt△BCE中，BE= ，
∵∠CBE=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△CBE∽△EBD，
∴，
∴，
∴DE= ，BD= ，
∵OE∥BC，
∴，
∴，
∴AE= ，
∴，
∴OA= ，
∴AB= ，AC= ，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径r==
∴圆的面积是：π．